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6 juillet 2012 5 06 /07 /juillet /2012 19:19

« On dit que l’induction est un signe que telle ou telle chose vaut pour tous les nombres » : le problème de l’induction est de passer du cas particulier au cas général

Si A implique B, A est inclus dans la généralité B, B est induit, A est déduit : si la loi vaut pour B, alors elle vaut pour A. Par exemple, si la loi dit en B que « tous les hommes sont mortels », cette loi vaut pour tous les cas particuliers donc pour le cas « Socrate est mortel ». On déduit la mortalité de Socrate car il est inclus dans l’ensemble {hommes} inclus dans l’ensemble {mortels}. L’induction doit inventer l’ensemble qui inclut les autres : bâtir la totalité. Proprement dit, c’est la généralité de la formule qui est le signe que n vaut pour tous les nombres : l’induction nécessite de passer à la formule. L’induction fait proprement référence au principe préalable de la récurrence.

166. […] Comparaison de la généralité des propositions proprement dites et de la généralité de l’arithmétique. Elle est vérifiée autrement et à cause de cela elle est autre.

Wittgenstein, Remarques philosophiques, [Recension des matières XIV], Tel Gallimard, 1975, page 34.

Proprement dire (et non pas parler), c’est distinguer le quantificateur « quel que soit » et le mécanisme de la récurrence. « Vérifiée autrement » : par le pas.

Par exemple, le cas général que vaut la somme des n premiers entiers naturels, prouvé par récurrence. La récurrence a la forme {1, n, n+1} qui demande trois tests de calculs à la preuve pour valider, non pas la généralité de la loi c’est-à-dire du principe de la récurrence, de la forme, mais celle de la proposition, d’une formule comme F=n(n+1)/2. Trois tests : pour F où n égal 1, pour F où n vaut n+1, et pour F où (n+1) s’ajoute à n ; là réside le calcul appliqué à la forme : que la valeur égale le pas qui s’ajoute. Ce qui « vaut pour tous les nombres », c’est la formule tandis que la forme de l’induction vaut pour les formules. La récurrence est le signe d’elle-même, « elle n’est pas le signe de quelque chose d’autre qu’elle-même » : elle est une forme à suivre, elle n’est pas une forme qui renvoie à un objet.

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Comme l’État politique, l’état de chose ou le préalable se justifie lui-même par lui-même. La loi est le signe d’une reconnaissance de soi ; elle reconnait « soi » mais pas le détail qu’elle constitue. La loi comme d’ailleurs le législateur voit la généralité et ne reconnait pas les cas particuliers, ni individuels ni administratifs : l’État ne s’ingère pas dans des dossiers spécifiques. (Cf. §156 : le préalable à « l’art de dénouer les nœuds en mathématiques » c’est voir clairement la loi générale.)

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§167. « L’induction ne prouve pas la proposition algébrique » : l’induction affirme tandis que la récurrence prouve. Ce sont les grandes méthodes et les grandes structures de groupe, corps, anneaux, qui, par leurs formes légitimes, prouvent la légitimité des grands ensembles. La loi générale tient, au-delà d’une équation au-delà des cas particuliers, aux méthodes. Où ont cours des fonctions de forme c’est-à-dire des fonctions d’état.

167. L’induction ne prouve pas la proposition algébrique, mais, du point de vue de l’application à l’arithmétique, elle justifie que l’on pose des équations algébriques […].

Ibidem.

Le passage à la généralité ne prouve pas la généralité : c’est la récurrence et plus généralement le respect des formes qui légitime la généralité. L’induction par récurrence (application arithmétique) justifie la formule qu’elle démontre. On ne dira pas que, dans la déduction, en redescendant, l’application de la généralité à la particularité justifie a posteriori la généralité.

Les équations reçoivent leur sens de l’induction : elle assure que les équations ne sont pas des non-sens en contradiction dès le départ. Quant à elle, la vérité tient au calcul des formules, à un mouvement de redescente. « C’est-à-dire : celles-ci ne reçoivent de l’induction que leur sens, non leur vérité ». La vérité tient à la vérification d’une égalité au niveau de généralité de l’équation, pas du principe. Le sens provient d’une généralité la plus grande au départ, portant les propriétés, la justification venant d’un pas plus bas dans l’ordre de la généralité.

L’induction ne se comporte pas comme une preuve « mais comme ce que vise le signe à l’égard de ce qui est prouvé » : à un renvoi de la signification d’un objet. Toute proportion de généralité gardée, l’induction joue son principe de garantie comme le signe a ou x joue à l’égard de la preuve : l’induction apporte le sens là où le signe calcule la vérité. Le principe ne se comporte pas comme une preuve mais sert de garantie à la preuve ; l’induction vise le sens et la preuve vise la vérité. Un signe x puise un sens dans un état de chose ou dans un autre, et une preuve se sert du signe comme dans une équation pourvue d’un domaine de définition.

§168. Par exemple, la généralité la plus grande « se montre dans la relation formelle » du déplacement de regroupement autorisé par l’associativité. Cette substitution « se révèle comme membre de la série inductive » : la révélation porte sur la généralité la plus grande, sur la forme. Une fonction de forme appartient au type de généralité la plus grande de l’état de chose : elle en est membre. Ainsi, quand je regarde a+b+c=a+b+c et que je vois a+(b+c)=(a+b)+c, je vois une forme différente appliquée à une même chose – et l’expression prend un sens non tautologique. « La proposition algébrique ne formule pas de généralité » : la généralité est dans la forme, elle « se montre dans la relation formelle à la substitution ». Et pour prouver et passer d’un membre de l’égalité à l’autre, un calcul est nécessaire.

§169. On prouve que a*b=c si a=c/b ou si b=c/a : on a le droit de diviser une même quantité à droite et à gauche d’une égalité, à condition d’un domaine de définition adéquat. Donc, « une preuve de cette capacité de prouver » tient à un domaine de définition : « la mise en évidence d’une induction qui permet de reconnaître de quel type sont les propositions auxquelles l’échelle donne accès. » La généralité la plus grande de l’induction permet de reconnaitre les associations légitimes ou pas. Ainsi, la considération du domaine de définition permet de reconnaitre que les cas particuliers critiques où a ou b égale 0. L’induction révèle les détails intéressants, exclus, inaccessible car elle met au clair l’état de chose.

L’induction donne accès à une généralité spécifique : une preuve, non pas de la preuve mais d’une capacité de prouver ; une preuve qui accède à la plus grande généralité des états de chose c’est-à-dire à la forme des mouvements, aux domaines de définition, au référentiel technique des lois (addition, division, etc.), à un matériel adapté à la nature de la question. La mise en évidence d’une induction est celle du sens au départ qui permet de reconnaitre un type de proposition adéquat à la nature des choses.

La mise en évidence du sens général permet de reconnaitre la nature des questions et le type de propositions auquel l’état de chose donne accès, ce qui fournit une capacité de prouver.

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Publié par DéfiTexte - dans Wittgenstein
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