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1 juillet 2010 4 01 /07 /juillet /2010 19:11

Wittgenstein, Remarques philosophiques, chapitre XII qui traite de l’infini :

123. J’appréhende une ligne infinie d’une autre manière qu’une ligne sans fin. La proposition la concernant ne peut pas être vérifiée par une progression pas à pas pensée sans fin, mais seulement par un pas.

Wittgenstein, Remarques philosophiques, [Recension des matières XII], Tel Gallimard, 1975, page 28.

Une ligne infinie possède une infinité de continus, de points ; une ligne sans fin n’a pas de terminaison. Selon la distinction, je peux toujours ajouter xi à n ou insérer xi entre n et n+y xi signifie par convention « autant de valeurs x que l’on veut ». Je le vérifie entre n et n+1 si n appartient au moins à l’ensemble des rationnels (des quotients), mais là-bas au loin, comment puis-je vérifier qu’un pas continue à s’ajouter à un pas, à une spire – que l’action continue ? Pour vérifier qu’une ligne est sans fin, il faudrait vérifier que là-bas un pas est fait encore et encore. Pour vérifier qu’une ligne est infinie, il suffit d’un pas : par exemple, 0.5 entre 0 et 1 par une division par deux ou 0.03125 entre 0 et 0.5 par une division par seize. Pour prouver qu’une ligne est infinie, il suffit d’un pas et d’un seul c'est-à-dire de la division d’un intervalle aussi petit que l’on veut par n’importe quel nombre aussi grand que l’on veut.

124. Ce n’est pas seulement « pour nous autres, hommes », qu’il est impossible d’appréhender successivement tous les nombres ; non, cela ne veut rien dire. La totalité est seulement donnée comme concept.

Ibidem.

L’infini est une possibilité de développement, que l’on ajoute ou que l’on coupe, et non pas affaire de hauteur de vue qui engloberait l’au-delà ou l’en-deçà pas à pas. La totalité synthétique, comme un résultat, est donnée sans développement, seulement comme concept ; par exemple, « racine carrée de 2 ». L’infini, la notion, est donné comme résultat et totalité : comme concept sans développement.

§125. Les objets logiques de l’infini, c’est 1, n, n+1, c'est-à-dire les trois éléments de la preuve par récurrence : leur existence suffit à déterminer son concept. Ils sont donnés d’emblée c'est-à-dire de manière inhérente : c’est l’objet logique qui détermine. Les objets du concept logique, ce sont les objets logiques du concept.

« Ce qu’il y a de fondamental, c’est seulement la répétition d’une opération. L’opération +1 répétée trois fois produit et est le nombre 3. » Le fondamental, par définition, c’est ce qui se répète. L’infini n’est pas un nombre mais une activité de répétition ; 3 est une répétition qui s’arrête (comme trois traits associés à 3 au §112) – l’être est un arrêt qui demeure.

126. Il semble maintenant que pour les nombres, l’indication de généralité n’a pas de sens.

Ibidem.

Auparavant, nous avons vu que la généralité renvoie ses indications à elle-même, par exemple 3 à la sonorité trois comme entre un signe Romain III et un signe Arabe. Maintenant en plus, on voit que le nombre est le produit d’un calcul : 3 est le renvoi de l’addition de trois fois un comme il était la traduction de trois traits. Sur les deux plans du symbole et du calcul, de la convention et de la technique, pour les nombres, l’indication d’un renvoi à soi-même n’a pas de sens. Il semble cela, car convention et technique différencient le monde – sans accomplir de distinction absolument binaire et exhaustive.

§127. Intuition de l’entreprise : la vérité tient soit à un produit fini, soit à un processus. La proposition est « rendue vraie par un produit fini » soit « aucun produit » ne la rend vraie. « Et c’est pourquoi [la proposition] n’est pas un produit logique » mais une activité, un processus.

128. Puis-je savoir qu’un nombre satisfait à l’équation sans qu’un domaine de définition soit délimité pour son apparition dans la série infinie ?

Ibidem.

Si un nombre satisfait à une équation, il n’est pas transcendant : le domaine de définition « transcendant » est délimité. Pour que x²=0 n’aie qu’une seule solution, il faut restreindre le domaine de définition auquel x appartient au départ aux réels soit positifs, soit négatifs. De même, Richard Dedekind coupe les ensembles des rationnels ou des irrationnels. Mais cette délimitation ne restreint pas l’infini pour autant. Une solution comme racine carrée de 2 n’apparait pas comme le produit d’un développement – non comme chez Hegel en terminaison positive mais quelque part dans une direction ou dans une autre.

129. Une proposition qui traite de toutes les propositions, ou de toutes les fonctions, est une impossibilité. En arithmétique la généralité est re-présentée par l’induction.

Ibidem.

Par exemple, « toute proposition est démontrable » est une proposition qui s’applique à elle-même, générale, qui devrait être démontrable ; mais elle ne l’est pas puisque celle-ci au moins reste à démontrer. Donc, au moins un exemple infirme et contredit cette généralité en ne s’appliquant pas à soi-même. Et au moins une fonction ne peut pas être traitée pour un élément, par exemple 1/x pour x=0. La généralité ne peut donc pas être présentée par un seul ensemble mais par l’induction, comme en arithmétique. En effet, l’induction est affaire d’ensembles et d’inclusion.

§130. La faute, (le cercle vicieux) dans la coupure d’un ensemble consiste à confondre l’élément et l’ensemble, à appliquer « tous » les éléments à l’ensemble inclusif lui-même. C’est une chose de démontrer que tout élément appartient à un ensemble, c’en est une autre de démontrer que tout ensemble est inclus dans un autre et l’inclusion de toute proposition dans une autre. Car une proposition est affaire d’ensembles. A une fonction propositionnelle correspond une inclusion et réciproquement. On ne pense jamais seulement soit à l’élément soit à l’ensemble, on pense autant à l’inclusion d’éléments qu’à l’inférence : « ce que nous avons dans l’esprit », c’est cette inhérence entre l’élément et l’ensemble. Car l’inférence est affaire d’inclusion d’ensembles. Mais l’inhérence est objet à part. Il convient de ne pas confondre l’appartenance et l’inclusion et de penser l’inférence entre élément et ensemble en son inclusion valide. Par exemple, « toute proposition est démontrable » : il convient de prendre l’inclusion possible de toute proposition, mais en tant qu’élément, dans l’ensemble de ce qui est démontrable. Mais cette vision, cette image, elle est vue sans être dite par une proposition. Que tout élément est inclut ne signifie pas que toute inclusion est possible.

130. […] Ce qui en réalité correspond à ce que nous avons dans l’esprit, ce n’est pas du tout une proposition, mais l’inférence de j(x) à y(x), lorsque cette inférence est permise – mais celle-ci n’est pas exprimée par une proposition.

Ibidem.

« Ce que nous avons dans l’esprit », ce n’est pas du tout une inclusion d’ensembles mais une inclusion d’éléments dans un ensemble : une induction propositionnelle respectant les conventions valides. Mais cette distinction entre élément et ensemble ne se voit pas dans une proposition car elle est un présupposé technique.

**

L’ésotérisme de Wittgenstein ne joue pas avec le langage mais avec notre perspicacité ; or, que reste-t-il un fois ce jeu intellectuel fait ? Ses idées substituées pas une traduction sont-elles intéressantes c'est-à-dire transforment-elles notre vision du monde, nos relations sociales ? L’intérêt est-il le jeu ou le résultat ? Tel nous semble le problème. Un résultat produit par le jeu de la conscience économise le travail du jugement, tel nous semble l’enjeu. Chez Wittgenstein le jeu n’est pas celui de parties à associer mais de l’intention : il joue avec ce que l’on apporte et non avec ce que l’on a ; car l’analytique est tautologique.

 

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Publié par DéfiTexte - dans Wittgenstein
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