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19 juin 2012 2 19 /06 /juin /2012 18:38

154. Je peux poser la question : « Quelle solution a cette équation ? », mais non celle-ci : « A-t-elle une solution ». […]

Wittgenstein, Remarques philosophiques, [Recension des matières XIII], Tel Gallimard, 1975, page 32.

§154. Je ne peux pas demander si une équation a une solution mais au préalable quelle est-elle, la première question tombant sous le cas de la seconde : je dois résoudre les préalables avant tout. Comme si Diogène cherchait un homme sans savoir lequel ! (l’essence d’abord). « La découverte de règles d’un nouveau type », puisque nouveau, ne peuvent pas être « valables pour une forme connue de nous », puisque nouvelle : un état de chose préalable implique une forme spécifique. Ainsi, les cartes ne sont pas dessinées de la même façon suivant que la terre est plate ou ronde, ni le ciel selon l’héliocentrisme ou le géocentrisme. Pour demander quelle est-elle, il est encore nécessaire au préalable de déterminer le domaine de définition : le sens détermine où ne pas chercher. Chercher là où le sens est impossible, tel est le cynisme de Diogène ; un nombre est divisible dans Q*, pas dans Z.

Un nombre est divisible : je ne demande pas si « il existe » avant de savoir « quel qu’il soit » : avant d’avoir restreint la fonction à une application ; et réciproquement : à son domaine nécessaire.

154. […] « Il est possible – encore que non nécessaire – que p soit valable pour tous les nombre » est un non-sens. […]

Ibidem.

Un élément est nécessaire si quel qu’il soit, il a au moins un antécédent concerné par une fonction ; par exemple, tout carré dans le monde des réels positifs. Parmi les objets de ce bureau discriminés par la fonction « déplacé d’une main » (dont le domaine de définition est cet ensemble sur lui-même), « armoire » n’a pas d’antécédent : l’élément est là mais exclu, non valable pour cette fonction. Cela ne serait pas le cas si le domaine de définition était {éléments du bureau} sur {éléments légers du bureau}. Parmi les objets de ce bureau, « voiture » n’a pas de sens au départ car cet élément n’appartient pas au domaine de définition « élément d’un bureau ».

Le possible laisse ouvert le cas où il existe un élément orphelin, n’ayant pas au moins un antécédent ayant du sens. Par exemple, parmi les nombres, p n’est pas nécessaire pour la fonction « tiré au hasard en 3 coups » bien que possible ; de même, parmi les cas, p=« j’ai mal aux dents » n’est pas nécessaire, bien que possible parmi ce à quoi il peut arriver quelque chose. L’association dent-douleur a peu de sens dans un système où la prévention est privilégiée. Si y=x², il n’est pas possible mais nécessaire que y valle 1, 4 ou 9 et que y soit différent de 3.

Deux cas : soit tous les éléments sont concernés par telle fonction et ils sont nécessaires, soit quelques-uns et ils sont possibles. « En effet, "nécessaire" et "tous" vont ensemble en mathématiques ». Donc, si p est valable pour tous, p n’est pas possible mais nécessaire : dire à la fois que p est possible et valable pour tous les cas est un non-sens. Possible et nécessaire ouvrent deux systèmes préalables incompatibles : « possible – encore que non nécessaire ».

§155. Sheffer qui reconstitue tous les opérateurs logiques avec le seul opérateur non-et (ou non-ou) « trouve un chemin meilleur qui conduit à tout » : « le chemin nouveau constitue un système nouveau », un nouveau paysage au bout d’un nouveau chemin (et non pas un nouveau point de vue sur un même paysage). Le meilleur ne concerne pas tant le chemin, le moyen (terme), que le meilleur tout.

§156. Le préalable à « l’art de dénouer les nœuds en mathématiques » : voir clairement la loi générale. Plus que la formulation d’une équation au-delà des cas particuliers, des manipulations d’une construction, voir les cohérences données par les structure, groupe, corps, anneaux, où des types de méthodes sont légitimes.

§ 157. La méthode n’en reste pas au hasard d’une première découverte mais correspond à une appropriation. Euclide a proposé sa méthode de construction d’un pentagone à l’aide de la règle et du compas : sans doute est-il parti de la conclusion en trame, un pentagone préalable pour suggérer où poser la pointe, quel écartement prendre, sans procéder au hasard. En mathématiques, chaque étape laisse la trace nécessaire au positionnement de la suite : sans faire, on ne voit rien, ni point de départ, ni point de fuite. Sans étape, je ne comprends pas (je n’englobe pas), et je ne m’approprie pas la construction. « On ne peut pas écrire la mathématique, mais seulement la faire » : elle n’est pas démarche linéaire mais d’implications. « Dans ce que je comprends disparaît du coup la façon dont j’y suis arrivé » : la façon trace la suite des éléments de constitution et il y a disjonction d’un coup entre extension des éléments et ensemble en compréhension.

§158. La conclusion d’une démonstration ne vient pas occuper une place réservée mais prendre sa place par l’action après s’être frayé un chemin. Si je connais une formule, c’est comme si je connaissais tous les points y correspondants : l’équation d’une droite ou tous les points d’une droite, l’équation d’une spirale ou toutes les spires. « Mais non tout à fait analogue – et tout est là » : de même qu’extensions et compréhension, l’application et la théorie ne sont pas « tout à fait analogue[s] » et le tout du préalable est là. L’équivalence ne tient que pour les « nombreux rapports » testés entre source et image, pas pour l’infini. L’induction entre cas particuliers et théorie, l’implication, nous fait entrer dans un autre état de chose – un autre monde.

§159. Il y aurait possiblement « un nombre fini de tous les nombres premiers » si au préalable il y avait une structure de leur occurrence : « la forme générale du nombre premier ». Si le sens tient à la structure, sans elle « "combien" de nombres premiers il y a » n’a pas de sens. Le problème est que nous avons « le mot "nombre premier" avant de disposer de l’expression rigoureuse » : nous pouvons poser la question sans avoir la possibilité de répondre, la structure préalable déterminant le possible qui structure le réel infini. « Dans notre langage parlé » nous pouvons dire n’importe quoi tandis qu’en mathématiques, nous cherchons la formule avant son application.

§160. Les axiomes définissent une structure d’état de chose, une syntaxe euclidienne ou non-euclidienne. En termes d’application, sur un plan la somme des angles d’un triangle vaut un plat, sur une sphère non ; il n’y a cependant pas contradiction mais choix des mondes. « Une preuve de la non-contradiction ne peut pas être quelque chose d’essentiel pour l’application des axiomes », l’essentiel étant le préalable.

§161. J’explore les conséquences d’axiomes comme j’explore une terra incogita : les suppositions mathématiques sont autant de mondes nouveaux. « Une hypothèse sur la distribution des nombres premiers » dépend de l’invention d’un nouveau monde, d'une nouvelle structure, une vérification tenant à sa viabilité. Je ne peux pas supposer cette vérification avant de supposer un nouveau monde. Les axiomes supposés ne sont pas prouvés : on ne prouve pas un nouveau monde, on l’invente.

§162. Sheffer : un nombre minima d’opérateurs logiques décrit un état de chose préalable, un espace de valeurs spécifique. Mais les axiomes possibles, les préalables, sont multiples : les mondes sont multiples, selon un nombre de constantes cosmologiques. « La proposition mathématique n’est que la surface immédiatement visible de l’ensemble du corps de preuve qu’elle limite sur cette face ». L’état de chose préalable est un « corps de preuve » que la proposition implique donc engage et limite, chaque cas particulier étant une contrainte pour le corps « sur cette face » : pour un monde particulier donné. Ainsi, l’ubiquité des particules dans le monde quantique implique son état toujours statistique : un monde particulier.

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Publié par DéfiTexte - dans Wittgenstein
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